Calculadora de ecuaciones diferenciales

Resuelve de forma numérica una ecuación diferencial de primer orden y' = f(x, y) con una condición inicial. Obtén el valor de y en el punto que elijas y la tabla de la solución.

y(1) ≈

3,4365595

Tamaño del paso (h): 0,1
Error estimado: 0,0000039

x	y
0	1
0,1	1,1103417
0,2	1,2428051
0,3	1,399717
0,4	1,5836485
0,5	1,7974413
0,6	2,0442359
0,7	2,3275033
0,8	2,6510791
0,9	3,0192028
1	3,4365595

Solución numérica por el método de Runge-Kutta de orden 4. No da la fórmula exacta de y(x), sino sus valores. Para más precisión, aumenta el número de pasos.

Cómo se calcula

La calculadora usa el método de Runge-Kutta de orden 4 (RK4). Divide el intervalo en pasos de tamaño h y, en cada uno, avanza con cuatro estimaciones de la pendiente:

k₁ = f(x, y)

k₂ = f(x + h/2, y + h·k₁/2)

k₃ = f(x + h/2, y + h·k₂/2)

k₄ = f(x + h, y + h·k₃)

y siguiente = y + h·(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)/6

Es mucho más preciso que el método de Euler con el mismo número de pasos.

Ejemplo

y’ = x + y, con y(0) = 1. ¿Cuánto vale y(1)?

La solución exacta es y = 2eˣ − x − 1, así que y(1) = 2e − 2 ≈ 3,43656. Con 10 pasos, la calculadora da 3,4365595, con un error menor que 0,00001.

y’ = y, con y(0) = 1. La solución exacta es y = eˣ. En x = 1 se obtiene 2,71828, el número e.

Limitaciones

Solo resuelve ecuaciones de primer orden. Una de segundo orden hay que convertirla antes en un sistema.
Si la solución tiene una asíntota dentro del intervalo, el resultado no es válido.

Para las ecuaciones de variables separables necesitarás integrales, y para los sistemas lineales, matrices.

Preguntas frecuentes

¿Qué tipo de ecuaciones resuelve?

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden escritas como y' = f(x, y), con un valor inicial y(x₀) = y₀. Por ejemplo, y' = x + y con y(0) = 1.

¿Da la fórmula de la solución?

No. Da los valores numéricos de la solución, no su expresión exacta. Es el método que se usa cuando la ecuación no tiene solución con fórmula, y sirve para comprobar una solución obtenida a mano.

¿Cómo escribo la ecuación?

Despeja y' y escribe solo el lado derecho, usando x e y. Para y' + 2y = sen(x), escribe -2y + sen(x).

¿Cuántos pasos debo usar?

Con 10 pasos el resultado suele tener ya varios decimales correctos. La línea «Error estimado» te dice cuánto cambia el resultado al duplicar los pasos: si es grande, aumenta el número.